Rozkład Poissona

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z Parametrem $\lambda>0$, jeśli

$${\bf P}(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \mbox{$k=0,1,2,\ldots$ }.$$

Twierdzenie 1   Jeśli zmienna losowa X_n ma rozkład dwumianowy z parametrami n, p i jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty} np=\lambda$, to

$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\bf P}(X_n=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$$

  

Figure: Wykres $P\{X=k\}$ dla rozkladu Poissona z $\lambda =2.5$

Wartości dystrybuanty rozkładu Poissona ${\bf P}(X\leq k) = POISSON(k,\lambda)$.

Przykład 3.1.2   Rozkład i wykres rozkładu Poissona otrzymujemy następującym programem.

DATA poisson;
 lambda=0.25*10; n=10;
 KEEP k pr_dyst probab;
 pr_old=0;
 DO k=0 TO n;
  pr_dyst=POISSON(lambda,k);
  probab=pr_dyst-pr_old;OUTPUT;
  pr_old=pr_dyst;
 END;
RUN;

PROC print DATA=poisson;
RUN;

GOPTIONS DEVICE=VGA;
SYMBOL1 V=POINT I=NEEDLE;
PROC GPLOT DATA=poisson;
 PLOT probab*k=1 /HMINOR=0 VMINOR=0;
RUN;

Na rysunku 3.1 naniesione są wykresy rozkładu dwumainowego i przybliżającego go rozkładu Poissona.